Satunnaismallit

Luennot

Keväällä 2006 dos. Kerkko Luosto. Kurssi luennointiin aiemmin tiiviskurssina 8.9.-19.9.1997.

Info

Kurssin infosivu sisältää kurssin hallinnolliset tiedot, ts. tiedot luentoajoista ja -paikoista, kokeista sekä laskuharjoituksista.

Laajuus 10 op, 5 ov

Laskuharjoitukset

Laskuharjoitukset ovat omalla sivullaan.

Kurssin asema opinnoissa

Kurssi on matemaattisen logiikan linjan valinnainen ja muiden linjojen vapaasti valittava laudatur-erikoiskurssi. Se soveltuu myös matemaattisen logiikan jatko-opintoihin. Kurssin voi suorittaa loppukokeella.

Kurssikuvaus

Satunnaismallien tutkimus on vireä ala kombinatoriikan ja matemaattisen logiikan välimaastossa. Tarkasteltava malli on usein satunnaisverkko, jossa on n kiinteätä solmua ja solmujen väliset särmät arvotaan toisistaan riippumatta. Tarkastelutapa on tyypillisesti asymptoottinen, ts. särmätodennäköisyyden p(n) ajatellaan riippuvan luvusta n, ja verkon ominaisuuksia tutkittaessa katsotaan, mitä tapahtuu, kun n lähestyy ääretöntä. Satunnaisverkon ominaisuudet riippuvat ratkaisevasti kuvauksesta p: Jos np(n) lähestyy nollaa, kun n lähestyy ääretöntä, satunnaisverkko on melkein varmasti epäyhtenäinen; jos taas p on nollasta poikkeava vakiofunktio, satunnaisverkon halkaisija on melkein varmasti 2.

Kurssin aiheita ovat mm. seuraavat:

  1. 1) Todennäköisyyslaskennan kertausta; satunnaisjoukko, -verkko, -malli.
  2. 2) Satunnaismenetelmästä: alarajat Ramseyn ja van der Waerdenin funktiolle.
  3. 3) Asymptoottiset mitat ja kynnysfunktiot.
  4. 4) Monotonisista ominaisuuksista.
  5. 5) 0--1-lait ja raja-arvolait.

Kurssin sisältö tarkentuu luentojen ensimmäisillä viikoilla.

Kurssimateriaali

Kurssin sisällöstä saa käsityksen tutkimalla aiemman tiiviskurssin käsikirjoitusta (korjattu versio 20.2.2001) [ dvi-versiona tai PostScript-versiona]. Laajemmat luentomuistiinpanot tulevat saataville kurssin aikana.

Esitiedot

Todennäköisyyslaskennan ja matemaattisen logiikan alkeistiedot helpottavat kurssin omaksumista.

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Äärellisten mallien ryhmän kotisivu Matemaattisen logiikan opetus