Satunnaismallit
Luennot
Keväällä 2006
dos. Kerkko Luosto.
Kurssi luennointiin aiemmin tiiviskurssina 8.9.-19.9.1997.
Info
Kurssin infosivu
sisältää kurssin hallinnolliset tiedot, ts. tiedot
luentoajoista ja -paikoista, kokeista sekä
laskuharjoituksista.
Laajuus 10 op, 5 ov
Laskuharjoitukset
Laskuharjoitukset ovat omalla sivullaan.
Kurssin asema opinnoissa
Kurssi on matemaattisen logiikan linjan valinnainen
ja muiden linjojen vapaasti valittava
laudatur-erikoiskurssi. Se soveltuu myös matemaattisen
logiikan jatko-opintoihin. Kurssin voi suorittaa loppukokeella.
Kurssikuvaus
Satunnaismallien tutkimus on vireä ala kombinatoriikan ja
matemaattisen logiikan välimaastossa. Tarkasteltava malli
on usein satunnaisverkko, jossa on n kiinteätä
solmua ja solmujen väliset särmät arvotaan toisistaan
riippumatta. Tarkastelutapa on tyypillisesti asymptoottinen,
ts. särmätodennäköisyyden p(n) ajatellaan riippuvan
luvusta n, ja verkon ominaisuuksia tutkittaessa katsotaan,
mitä tapahtuu, kun n lähestyy
ääretöntä. Satunnaisverkon
ominaisuudet riippuvat ratkaisevasti kuvauksesta p:
Jos np(n) lähestyy nollaa, kun n lähestyy ääretöntä,
satunnaisverkko on melkein
varmasti epäyhtenäinen; jos taas p on nollasta poikkeava
vakiofunktio, satunnaisverkon halkaisija on melkein varmasti 2.
Kurssin aiheita ovat mm. seuraavat:
- 1) Todennäköisyyslaskennan kertausta;
satunnaisjoukko, -verkko, -malli.
- 2) Satunnaismenetelmästä: alarajat Ramseyn ja van der Waerdenin
funktiolle.
- 3) Asymptoottiset mitat ja kynnysfunktiot.
- 4) Monotonisista ominaisuuksista.
- 5) 0--1-lait ja raja-arvolait.
Kurssin sisältö tarkentuu luentojen ensimmäisillä viikoilla.
Kurssimateriaali
Kurssin sisällöstä saa käsityksen tutkimalla aiemman
tiiviskurssin käsikirjoitusta (korjattu versio 20.2.2001)
[ dvi-versiona tai
PostScript-versiona].
Laajemmat luentomuistiinpanot tulevat saataville kurssin
aikana.
Esitiedot
Todennäköisyyslaskennan ja matemaattisen logiikan alkeistiedot
helpottavat kurssin omaksumista.