Laitos-wiki

 

Kanslia

PL 68 (Gustaf Hällströmin katu 2b)
00014 Helsingin yliopisto
puhelin: (09) 191 51501 ja (09) 191 51502
faksi: (09) 191 51400
sähköposti: mathdept(at)cc.helsinki.fi

Tutkimuksen esittely

tutkimus

Matematiikan ja tilastotieteen laitoksen tutkimustoiminta on monipuolista ja monissa arvioinneissa sen tutkimustyö on saanut korkeimpia pisteitä. Laitoksella on vilkasta yhteistyötä muiden korkeakoulujen sekä monien sektoritutkimuslaitosten kanssa koti ja ulkomailla.

Seuraavassa poimintoja matematiikan ja tilastotieteen laitoksella opetetuista, tutkituista ja kehitetyistä aloista.

Analyysin tarvetta

Nykyinen luonnontieteellistekninen kulttuuri perustuu matemaattisen analyysin voittokulkuun. Sen tarjoamia menetelmiä tarvitaan sovellusten lisäksi useimmilla matematiikan aloilla. Laitoksella analyysin tutkijat muodostavat suurimman ryhmän. Nykyisistä analyysin tutkimuskohteista merkittävin on geometrinen analyysi. Tämä sisältää funktioiden ja kuvausten analyysin metrisissä avaruuksissa ja monistoilla, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisujen kvalitatiivisen käyttäytymisen tutkimusta. Funktionaalianalyysi, jonka pääpiirre on analyysin harjoittaminen ääretönulotteisissa avaruuksissa, on modernin analyysin kulmakiviä ja sitä käyttävät hyväkseen useimmat sovellukset mm. erilaisiin optimointikysymyksiin.

Elämän tilastotiedettä

Biometrian tutkimusryhmässä rakennetaan lähinnä todennäköisyyslaskentaan perustuvia malleja biologisille ilmiöille ja prosesseille. Tuloksia sovelletaan myös lääketieteen ja epidemiologian ongelmiin. Ryhmän tutkimusaiheet kattavat laajan kirjon ja ulottuvat molekyylitasolta aina populaatioiden rakenteeseen. Menetelmällisesti ne kuitenkin ovat varsin samanlaisia. Ryhmän työ sai alkunsa infektiotautien matemaattisesta mallinnusprojektista noin 10 vuotta sitten, mutta sen pääpaino on nyt populaatiogenetiikassa, monitekijäisten ominaisuuksien geenikartoituksessa, systeemibiologiassa ja ympäristöriskien arvioinnissa.

Biomatematiikkaa

Biomatematiikan tutkimusryhmässä rakennetaan ja analysoidaan biologisten ja lääketieteellisten ilmiöiden matemaattisia malleja. Tutkimuskenttä on laaja; sovellusaloja ovat mm. molekyylibiologia, taksonomia, ihmisen fysiologia ja populaatiodynamiikka. Tällä hetkellä pääpaino on adaptiivisessa dynamiikassa. Tämä on verraten uusi matemaattinen teoria, joka eksplisiittisesti yhdistää luonnonvalinnan kautta tapahtuvan evoluution populaatiodynamiikkaan. Mallinnuksessa käytetään sekä determinististä että stokastista lähestymistapaa.

Kansantaloustieteen tilastotiedettä

Tilastotieteessä aikasarja-analyysin tutkimus on kohdistunut sellaisten aikasarjamallien teoriaan, joita sovelletaan paljon taloudellisten aikasarjojen analysoinnissa. Niillä on ollut erittäin suuri vaikutus etenkin makrotalouden ja rahatalouden empiiriseen tutkimukseen. Tätä kuvaa hyvin se, että vuoden 2003 taloustieteen Nobelin palkinnot myönnettiin aikasarjaekonometrian kehittäjille. Matematiikan ja tilastotieteen laitoksen ekonometrian ryhmän jatko-opiskelijoista osa on taustaltaan tilastotieteilijöitä ja osa kansantaloustieteilijöitä.

Fraktaalien matematiikkaa

Geometrinen mittateoria on matematiikan ala, jossa mittateorian (ts. pituuden ja pinta-alan yleistysten) keinoin tutkitaan monimutkaisten geometristen objektien ominaisuuksia. Tällaisia objekteja ovat mm. monenlaiset fraktaalit ja yleistetyt pinnat. Edellisiä syntyy erilaisten iteraatioprosessien ja dynaamisten systeemien yhteydessä. Jälkimmäisiä on käytetty mallittamaan mm. saippuakalvoja ja muita luonnon pintoja. Geometrisella mittateorialla on myös yhteyksiä ja sovelluksia monilla keskeisiin klassisiin matematiikan aloilla kuten differentiaaliyhtälöiden teoriassa. Suomen geometrisen mittateorian tutkimus on keskittynyt Helsingin ja Jyväskylän yliopistoihin.

Seurauksista syihin

Yleensä luonnontieteellisissä teorioissa edetään syistä seurauksiin. Myös matemaattiset tieteelliset teoriat ovat yleensä keskittyneet tällaisten suorien ongelmien ratkaisuun. Matemaattisissa käänteisissä ongelmissa kuljetaan päinvastaiseen suuntaan eli teorioiden ennustamat lopputulokset ovat tiedossa, mutta niiden aiheuttaja ei. Tutkimuksen kohteena on usein jokin kappale, jonka sisällön ominaisuuksia halutaan selvittää tekemällä mittauksia sen pinnalla. Näiden pintahavaintojen perusteella kuvaillaan matemaattisesti kappaleen sisäosia. Tällaisella inversiomatematiikalla ratkotaan mm. seismisiä ongelmia, paikannetaan kasvaimia ja etsitään miinoja.

Matematiikalla kivijalka

Mihin perusolettamuksiin eli aksioomeihin matematiikka perustuu? Vastaus kiinnostaa myös tietojenkäsittelijöitä, sillä tietokoneidenkin on tehtävä matematiikkaa ja loogisia päättelyjä. Kurt Gödel todisti 30-luvulla kuuluisan epätäydellisyyslauseensa. Tästä syntyi rikas matemaattinen tutkimus, jonka kohteena ovat erilaiset matematiikan aksioomajärjestelmät ja niiden erilaiset epätäydellisyysilmiöt. Aksioomajärjestelmiä tutkitaan kuviteltujen maailmojen avulla. Tällainen maailma voi kuvata vaikkapa joidenkin kaupunkien välisiä junayhteyksiä. Laitoksemme logiikan ryhmässä tutkitaan sekä äärellisiä että äärettömiä maailmoja käyttäen logiikassa kehitettyjä syvällisiä menetelmiä, sekä algebraa, kombinatoriikkaa ja pelejä.

Matematiikan ja fysiikan välissä

Matematiikan ja fysiikan välille on viime aikoina muodostunut erittäin hedelmällinen vuorovaikutus. Matematiikka on saanut ideoita ja ongelmia fysiikasta ja fysiikka hyötynyt uusimmasta puhtaasta matematiikasta. Matemaattisen fysiikan ryhmä toimii näillä molemmilla saroilla. Matematiikan puolella tutkimuksen kohteita ovat dynaamiset systeemit, osittaisdifferentiaaliyhtälöt, stokastiikka ja geometria, fysiikan puolella turbulenssi, tilastollinen mekaniikka ja kvanttikenttäteoriat. Matemaattinen fysiikka antaa työkaluja paitsi puhtaan matematiikan ja teoreettisen fysiikan tutkimukseen niin myös muille aloille, kuten biologia ja taloustiede, joissa dynaamisilla ja stokastisilla malleilla on yhä enemmän käyttöä.

Venytyksiä ja symmetrioita

Topologia on venyvyyden geometriaa. Tarkemmin sanottuna topologia tutkii niitä geometrisia ominaisuuksia, jotka säilyvät venytettäessä ja väännettäessä. Topologiset transformaatioryhmät ovat topologisten avaruuksien symmetriakuvausten ryhmiä. Topologiseen transformaatioryhmään kuuluvat kuvaukset voivat venyttää ja vääntää avaruutta eri tavoin. Alalla tutkitaan muun muassa, mitä topologisille avaruuksille voidaan tehdä transformaatioryhmien kanssa yhteensopivasti. Voidaanko esimerkiksi avaruus jakaa säännöllisen muotoisiin paloihin niin, että jokainen transformaatioryhmän kuvaus vie yhden palan toiselle palalle? Suomessa transformaatioryhmien tutkimus on keskittynyt Helsingin yliopistoon.