Malliavin-laskenta, kevät 2012 (10 op)

NB: The lectures and excercises are in English, although the lecture notes are in Finnish.

Luennoija

Tommi Sottinen.

Kurssikuvaus

Stokastinen analyysi on integrointia Brownin liikkeen suhteen. Malliavin-laskenta on derivointia Brownin liikkeen suhteen. Eräs keskeinen stokastisen analyysin tulos on, että Brownin liikkeen funktionaali voidaan esittää jonkin tietyn prosessin stokastisena integraalina. Valitettavasti tämä esityslause on olemassaolo- ja yksikäsitteisyystulos: stokastinen analyysi ei kerro, mikä ko. prosessi on. Malliavin-laskenta kertoo.

Esitiedot

Todennäköisyysteoria. Tarvittavat esitiedot stokastisesta analyysistä ja funktionaalianalyysistä esitetään kurssin aikana.

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ma 12-14 B322, ti 10-12 C122, lisäksi laskuharjoitukset ma 10-12 C129. Ensimmäinen luento ma 16.1. ja ensimmäiset harjoitukset ma 23.1.

Suoritustapa

Kurssi suoritetaan tekemällä laskuharjoitustehtäviä: 40 % vastaa arvosanaa 1 ja 80 % vastaa arvosanaa 5 (muut arvosanat lineaarisesti interpoloiden). Mikäli kurssin aikana ei ehdi tehdä (mielestään) riittävästi tehtäviä, niin luennoijalta voi kysyä lisätehtäviä.

Kurssimateriaali

Luennot saatavana täältä ja viikottaiset harjoitukset tulevat alle:

1. exercise
2. exercise
3. exercise
4. exercise

Sisältö

1. Gaussiset Hilbert-avaruudet
   1. Gaussiset satunnaismuuttujat
   2. Isonormaali gaussinen prosessi
   3. Brownin liike ja valkoinen häly
   4. Hermiten polynomit
2. Wiener-Itô-kaaoskehitelmä
   1. Abstrakti kaaoskehitelmä
   2. Moninkertaiset Wiener-integraalit
   3. Valkoinen häly ja kaaoskehitelmä
   4. Itô-integraalit ja Itô-Clark-esityslause
3. Malliavin-derivaatta
   1. Derivointi Banach-avaruuksissa
   2. Derivointi Wiener-avaruudessa
   3. Yleinen gaussinen määrittely
   4. Kaaoskehitelmän derivaatta
4. Divergenssi ja Skorohod-integraali
   1. Liitto-operaattoreista
   2. Divergenssi liitto-operaattorina
   3. Kaaoskehitelmän divergenssi
   4. Clark-Ocone-esityslause
5. Rahoitussovellus (materiaali: Øksendal, Bernt: An introduction to Malliavin calculus with applications to economics, luku 5. )

Kirjallisuutta

Luennot perustuvat kirjaan

• Nualart, David: The Malliavin calculus and related topics. Probability and its Applications (New York). Springer-Verlag, New York, 1995

Muita kirjoja Malliavin-laskennasta:

• Bell, Denis R.: The Malliavin calculus. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 34. Longman Scientific & Technical, Harlow; John Wiley & Sons, Inc., New York, 1987.
• Malliavin, Paul: Stochastic analysis. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 313. Springer-Verlag, Berlin, 1997
• Üstünel, Ali Süleyman An introduction to analysis on Wiener space. Lecture Notes in Mathematics, 1610. Springer-Verlag, Berlin, 1995.

Netissä vapaasti saatavilla olevia esityksiä Malliavin-laskennasta:

• Friz, Peter: An introduction to Malliavin calculus.
• Øksendal, Bernt: An introduction to Malliavin calculus with applications to economics.

---

Viimeksi päivitetty 7.2.2012