Todennäköisyysteoria, syksy 2006 (10 op, 5 ov)

Huom.: Tiistaina 12.12. ei ole harjoituksia, vaan harjoitusten paikalla on luento.

Luennoija

dos. Tommi Sottinen, vastaanotto ma 10–12 A407. Luennoijalle voi lähettää kurssista anonyymiä palautetta.

Kurssikokeet (os. välikokeet)

1. kurssikoe on ma 30.10. klo 12-14 (luennon aikana).
2. kurssikoe on to 14.12. klo 13-15 Exactumin auditoriossa

Esitiedot

Analyysi I-II; Johdatus todennäköisyyslaskentaan; Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I; Vektorianalyysi.

Hyödyllisiä kursseja (joita ei kuitenkaan tarvita varsinaisesti esitiedoiksi): Funktionaalianalyysin peruskurssi; Mitta ja integraali.

Luento- ja harjoitusajat

Luennot ma 12–14, ke 10–12 C124, laskuharjoitukset ti 12–14, B321. Kurssi kestää koko syksyn eli periodit I ja II (ensimmäinen luento ma 4.9.).

Laskuharjoitustehtävät

Laskuharjoituksista saa [10p-2]⁺ lisäpistettä, missä p on tehtyjen harjoitusten suhteellinen osuus, [x] tarkoittaa x:n kokonaisosaa ja x⁺=max(x,0). Kurssikokeista saa maksimissaan 2x4x6 = 48 pistettä.

1. harjoitus [ratkaisut]
2. harjoitus [ratkaisut]
3. harjoitus [ratkaisut]
4. harjoitus [ratkaisut]
5. harjoitus [ratkaisut]
6. harjoitus [ratkaisut]
7. harjoitus [ratkaisut]
8. harjoitus [ratkaisut]
9. harjoitus [ratkaisut]
10. harjoitus [ratkaisut]
11. harjoitus [ratkaisut]

Luentopäiväkirja (ja errata)

Kurssimateriaali ja sisältö

Lukijalle (1.12.)
1. Johdanto (21.8., 26.9.)
   1.1 Merkintöjä
   1.2 Kolokonheittoa
2. Todennäköisyysavaruus (21.8., 26.9.)
   2.1 sigma-algebrat
   2.2 Todennäköisyysmitta ja -avaruus
   2.3 Laajennuslauseita
   2.4 Mitallisuus ja mitattomuus
3. Satunnaismuuttujat ja -vektorit (21.8., 26.9.)
   3.1 Määritelmä mitallisena kuvauksena
   3.2 Rajat ja muunnokset
   3.3 Jakauma
4. Odotusarvo (21.8., 17.10., 1.11.)
   4.1 Määritelmä mittaintegraalina
   4.2 Rajankäynti ja odotusarvo
   4.3 Satunnaisvektorin muunnoksen odotusarvo
   4.4 Epäyhtälöitä
5. Riippumattomuus (21.8., 1.11., 14.11.)
   5.1 Riippumattomat sigma-algebrat, satunnaisvektorit ja tapahtumat
   5.2 Borelin ja Cantellin lemmat
   5.3 Tuloavaruudet ja Fubinin lause
   5.4 Äärettömät tuloavaruudet
   5.5 Riippumattomien satunnaismuuttujien summat
6. Karakteristiset funktiot (1.11., 14.11.)
   6.1 Kompleksiluvut ja -funktiot
   6.2 Kompleksiarvoiset satunnaisvektorit
   6.3 Karakteristinen funktio ja sen ominaisuudet
   
7. Suppenemiset (14.11., 30.11.)
   7.1 Melkein varma suppeneminen
   7.2 L^p-suppeneminen
   7.3 Stokastinen suppeneminen
   7.4 Jakaumasuppeneminen
   7.5 Suppenemisten väliset suhteet
8. Raja-arvolauseita (26.11., 30.11.)
   8.1 Suurten lukujen lait
   8.2 Suurten poikkeamien periaate
   8.3 Keskeinen raja-arvolause
9. Ehdollinen odotusarvo (1.12.)
   9.1 Johdattelua
   9.2 Määritelmä Radonin ja Nikodymin derivaattana
   9.3 Ehdollinen odotusarvo parhaana L²-ennusteena
   9.4 Säännöllinen ehdollinen jakauma
   Hakemisto (1.12.)

Kurssimateriaali ja laskuharjoitustehtävät ovat saatavilla myös huoneessa C127 (punainen kansio).

Kirjallisuutta

1. Ya. Sinai Probability Theory: An Introductory Course, Springer-Verlag, Berliini, 1992.
2. G. Elfving ja P. Tuominen Todennäköisyyslaskenta II, toinen painos, Limes, Helsinki, 1990.
3. J. Jacod ja P. Protter Probability Essentials, toinen painos, Springer-Verlag, New York, 2004.
4. D. Williams Probability with Martingales, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
5. A. Shiryaev Probability, Springer-Verlag, New York, 1984.
6. O. Kallenberg Foundations of modern probability, toinen painos, Springer-Verlag, New York, 2002.

Kirjallisuus on lueteltu vaikeusjärjestyksessä, mikä on myös laajuusjärjestys.

---

Viimeksi päivitetty 13.12.2006